s4: statistics: ch10: student-practices: q10

Author: pan93412

semester-4/statistics/ch10/student-practices.typ

@@ -418,4 +418,78 @@ $
 
 = Question 10
 
-已知兩母體 $X_1, X_2$
+已知兩獨立常態分配母體 $X_1, X_2$，其中
+
+- $overline(X)_1$: $n_1=10, overline(x)=56, s=5$
+- $overline(X)_2$: $n_2=15, overline(y)=49, s=3$
+
+假如 $sigma_1 != sigma_2$，請問 $mu_1-mu_2$ 的 95% 信賴區間，和 $alpha=0.05$ 下是否符合宣稱 $mu_1-mu_2 > 0$
+
+== 抽樣分配
+
+因為屬於常態分配母體，$sigma_1 != sigma_2$，小樣本，故
+
+$
+(overline(x)-overline(y))/sqrt(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2) tilde t(r)
+$
+
+其中
+
+$
+r &= floor((s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2)/((s_1^2/n_1)^2/(n_1-1)+(s_2^2/n_2)^2/(n_2-1)) \
+  &= 13
+$
+
+== 信賴區間
+
+95% 的信賴區間，其 $alpha$ 為 $0.05$，$alpha/2$ 為 $0.025$。
+
+$
+t_(0.025)(13) = 2.160
+$
+
+
+因此，其信賴上下界為：
+
+$
+c &= (overline(x) - overline(y)) plus.minus t_(0.025)(13) times sqrt(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2) \
+  &= 3.20 or 10.80
+$
+
+故 $mu_1-mu_2$ 的 95% 信賴區間為 $(3.20, 10.80)$
+
+== 檢定
+
+=== 虛無假說
+
+$
+cases(
+  H_0: mu_1-mu_2 <= 0,
+  H_1: mu_1-mu_2 > 0 "(檢定)",
+)
+$
+
+右尾檢定。
+
+=== 抽樣分配和拒絕域
+
+拒絕域為
+
+$
+R R &= { t | t > t_(0.05)(13)} \
+    &= { t | t > 1.771}
+$
+
+=== 計算檢定統計量
+
+$
+t &= (overline(x)-overline(y))/sqrt(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2) \
+  &= 3.976
+$
+
+因為 $t = 3.976 > 1.771$, $t in R R$，故拒絕 $H_0$。
+
+=== 結論
+
+在 $alpha=0.05$ 下，同意 $mu_1-mu_2 > 0$。
+