Complex-Function-Exam-Review.md

复变函数 Complex Function

• 开设于本科三年级上学期，作为全方向的必修课程。
• 使用课本：
  《复变函数（第五版）》 （余家荣老师 高等教育出版社）
• 主要内容：
  • 复数基础
  • 复变函数基础
  • 复变函数积分
  • 复变函数的级数与留数
  • 保形映射与调和函数

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Chap 1. 复数和复平面

1.1 复数及其几何表示

1.2 复平面的拓扑

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Chap 2. 复变函数

2.1 解析函数

1. 定义
2. Cauchy-Riemann 条件

2.2 初等函数

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Chap 3. 复变函数的积分

3.1 柯西定理

1. 积分定义

2. 积分的计算

3. 复合闭路定理

4. 多连通区域内不定积分

3.2 柯西公式

1. 柯西积分公式

2. Cauchy Inequality 柯西不等式

3. Morera Theorem 莫勒拉公式

4. 高阶导数公式

总结：求边界上积分的几种方法

1. 定义
2. 公式

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Chap 4. 级数

1. 复变项级数

2. 复变函数项级数

3. 幂级数

4. 解析函数的泰勒展式

5. 零点

6. 解析函数的唯一性

7. 洛朗展式

8. 解析函数的孤立奇点

9. 解析函数在无穷远点处性质

10. 整函数与亚纯函数概念 · 刘维尔定理

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Chap 5. 留数

1. 留数概念与计算

2. 留数定理

3. 留数计算应用

4. 亚纯函数的零点与极点个数 · 鲁歇定理

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Chap 6. 保形映射

1. 单叶解析函数的定义与性质

2. 导数的几何意义

3. 分式线性函数

4. 分式线性函数的映射性质

5. 两个特殊的分式线性函数

6. 最大模原理 · 施瓦茨引理

7. 黎曼定理 · 边界相关概念