dp,recursion and slide window

Author: da183

basic_algorithm/dp.md

@@ -375,6 +375,11 @@ int lengthOfLIS1(vector<int>& nums) {
 
 #pragma region 复杂度O(n log n)
 // 题目给了提示，看到log n可以考虑往二分查找之类的上凑
+// 思路：保存最大长度及其末尾节点，通过判断是否大于末尾节点来决定是否能够组成子序列
+// 又，既然不能保证当前的"最大长度"会不会被其他组合反超
+// 干脆把整个过程，每个长度都保存下来，构成单调栈
+// 一方面通过栈顶来决定是否能够组合成更长的子序列
+// 另一方面通过查找，找出比当前节点小的第一个末尾进行更新，以确保其他组合的机会
 int lengthOfLIS(vector<int> &nums) {
     int size = nums.size();
     if (size < 2) {
@@ -413,53 +418,21 @@ int lengthOfLIS(vector<int> &nums) {
 
 > 给定一个**非空**字符串  *s*  和一个包含**非空**单词列表的字典  *wordDict*，判定  *s*  是否可以被空格拆分为一个或多个在字典中出现的单词。
 
-```go
-func wordBreak(s string, wordDict []string) bool {
-	// f[i] 表示前i个字符是否可以被切分
-	// f[i] = f[j] && s[j+1~i] in wordDict
-	// f[0] = true
-	// return f[len]
-
-	if len(s) == 0 {
-		return true
-	}
-	f := make([]bool, len(s)+1)
-	f[0] = true
-	max,dict := maxLen(wordDict)
-	for i := 1; i <= len(s); i++ {
-		l := 0
-		if i - max > 0 {
-			l = i - max
-		}
-		for j := l; j < i; j++ {
-			if f[j] && inDict(s[j:i],dict) {
-				f[i] = true
-                break
-			}
-		}
-	}
-	return f[len(s)]
-}
-
-
-
-func maxLen(wordDict []string) (int,map[string]bool) {
-    dict := make(map[string]bool)
-	max := 0
-	for _, v := range wordDict {
-		dict[v] = true
-		if len(v) > max {
-			max = len(v)
-		}
-	}
-	return max,dict
-}
-
-func inDict(s string,dict map[string]bool) bool {
-	_, ok := dict[s]
-	return ok
+```c++
+bool wordBreak(string s, vector<string> &wordDict) {
+    unordered_set<string> wordDictSet{wordDict.begin(), wordDict.end()};
+    vector<bool> dp(s.size() + 1);
+    dp[0] = true;
+    for (int i = 1; i <= s.size(); ++i) {
+        for (int j = 0; j < i; ++j) {
+            if (dp[j] && wordDictSet.find(s.substr(j, i - j)) != wordDictSet.end()) {
+                dp[i] = true;
+                break;
+            }
+        }
+    }
+    return dp.back();
 }
-
 ```
 
 小结
@@ -479,50 +452,23 @@ func inDict(s string,dict map[string]bool) bool {
 > 一个字符串的   子序列   是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。
 > 例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。
 
-```go
-func longestCommonSubsequence(a string, b string) int {
-    // dp[i][j] a前i个和b前j个字符最长公共子序列
-    // dp[m+1][n+1]
-    //   ' a d c e
-    // ' 0 0 0 0 0
-    // a 0 1 1 1 1
-    // c 0 1 1 2 1
-    //
-    dp:=make([][]int,len(a)+1)
-    for i:=0;i<=len(a);i++ {
-        dp[i]=make([]int,len(b)+1)
-    }
-    for i:=1;i<=len(a);i++ {
-        for j:=1;j<=len(b);j++ {
-            // 相等取左上元素+1，否则取左或上的较大值
-            if a[i-1]==b[j-1] {
-                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1
+```c++
+vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1));
+    for (int i = 1; i <= text1.size(); ++i) {
+        for (int j = 1; j <= text2.size(); ++j) {
+            if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {
+                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
             } else {
-                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])
+                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
             }
         }
     }
-    return dp[len(a)][len(b)]
-}
-func max(a,b int)int {
-    if a>b{
-        return a
-    }
-    return b
+    return dp.back().back();
 }
 ```
 
 注意点
 
-- go 切片初始化
-
-```go
-dp:=make([][]int,len(a)+1)
-for i:=0;i<=len(a);i++ {
-    dp[i]=make([]int,len(b)+1)
-}
-```
-
 - 从 1 开始遍历到最大长度
 - 索引需要减一
 
@@ -536,37 +482,30 @@ for i:=0;i<=len(a);i++ {
 
 思路：和上题很类似，相等则不需要操作，否则取删除、插入、替换最小操作次数的值+1
 
-```go
-func minDistance(word1 string, word2 string) int {
-    // dp[i][j] 表示a字符串的前i个字符编辑为b字符串的前j个字符最少需要多少次操作
-    // dp[i][j] = OR(dp[i-1][j-1]，a[i]==b[j],min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1)
-    dp:=make([][]int,len(word1)+1)
-    for i:=0;i<len(dp);i++{
-        dp[i]=make([]int,len(word2)+1)
-    }
-    for i:=0;i<len(dp);i++{
-        dp[i][0]=i
-    }
-    for j:=0;j<len(dp[0]);j++{
-        dp[0][j]=j
-    }
-    for i:=1;i<=len(word1);i++{
-        for j:=1;j<=len(word2);j++{
-            // 相等则不需要操作
-            if word1[i-1]==word2[j-1] {
-                dp[i][j]=dp[i-1][j-1]
-            }else{ // 否则取删除、插入、替换最小操作次数的值+1
-                dp[i][j]=min(min(dp[i-1][j],dp[i][j-1]),dp[i-1][j-1])+1
+```c++
+int minDistance(string word1, string word2) {
+    // 删除与插入操作是等价的，修改word1和修改word2也是等价的
+    // 故，实际操作只有在三种：
+    // 1. 在word1插入，dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
+    // 2. 在word2插入，dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1
+    // 3. 在word1修改，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
+    vector<vector<int>> dp(word1.size(), vector<int>(word2.size()));
+    for (int i = 0; i < word1.size(); ++i) {
+        dp[i][0] = i;
+    }
+    for (int i = 0; i < word2.size(); ++i) {
+        dp[0][i] = i;
+    }
+    for (int i = 1; i <= word1.size(); ++i) {
+        for (int j = 1; j <= word2.size(); ++j) {
+            if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
+                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
+            } else {
+                dp[i][j] = min(min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
             }
         }
     }
-    return dp[len(word1)][len(word2)]
-}
-func min(a,b int)int{
-    if a>b{
-        return b
-    }
-    return a
+    return dp.back().back();
 }
 ```
 
@@ -582,35 +521,23 @@ func min(a,b int)int{
 
 思路：和其他 DP 不太一样，i 表示钱或者容量
 
-```go
-func coinChange(coins []int, amount int) int {
-    // 状态 dp[i]表示金额为i时，组成的最小硬币个数
-    // 推导 dp[i]  = min(dp[i-1], dp[i-2], dp[i-5])+1, 前提 i-coins[j] > 0
-    // 初始化为最大值 dp[i]=amount+1
-    // 返回值 dp[n] or dp[n]>amount =>-1
-    dp:=make([]int,amount+1)
-    for i:=0;i<=amount;i++{
-        dp[i]=amount+1
-    }
-    dp[0]=0
-    for i:=1;i<=amount;i++{
-        for j:=0;j<len(coins);j++{
-            if  i-coins[j]>=0  {
-                dp[i]=min(dp[i],dp[i-coins[j]]+1)
+```c++
+int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
+    // 初始化为amount + 1，如果最后大于amount说明无解
+    // dp[i]表示金额为i时，所需最少硬币个数
+    // dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)
+    // dp[i - coin]，倒扣当前面额
+    // 注意不要越界，i - coin >= 0
+    vector<int> dp(amount + 1, amount + 1);
+    dp[0] = 0;
+    for (auto i = 1; i <= amount; ++i) {
+        for (const auto &coin : coins) {
+            if (i - coin >= 0) {
+                dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1);
             }
         }
     }
-    if dp[amount] > amount {
-        return -1
-    }
-    return dp[amount]
-
-}
-func min(a,b int)int{
-    if a>b{
-        return b
-    }
-    return a
+    return dp.back() > amount ? -1 : dp.back();
 }
 ```
 
@@ -622,34 +549,30 @@ func min(a,b int)int{
 
 > 在 n 个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为 m，每个物品的大小为 A[i]
 
-```go
-func backPack (m int, A []int) int {
+```c++
+int backPack(int m, vector<int> &A) {
     // write your code here
-    // f[i][j] 前i个物品，是否能装j
-    // f[i][j] =f[i-1][j] f[i-1][j-a[i] j>a[i]
-    // f[0][0]=true f[...][0]=true
-    // f[n][X]
-    f:=make([][]bool,len(A)+1)
-    for i:=0;i<=len(A);i++{
-        f[i]=make([]bool,m+1)
-    }
-    f[0][0]=true
-    for i:=1;i<=len(A);i++{
-        for j:=0;j<=m;j++{
-            f[i][j]=f[i-1][j]
-            if j-A[i-1]>=0 && f[i-1][j-A[i-1]]{
-                f[i][j]=true
+    // dp[i][j] 前i个物品，是否能装j
+    // dp[i - 1][j] == true? 则不需要第i个物品也能装满
+    // dp[i - 1][j - A[i - 1]]? 腾出第i个物品的空间，剩下空间能否装满
+    // dp[i][j] = dp[i - 1][j] or dp[i - 1][j - A[i - 1]]
+    vector<vector<bool>> dp(A.size() + 1, vector<bool>(m + 1));
+    dp[0][0] = true;
+    for (int i = 1; i <= A.size(); ++i) {
+        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
+            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+            if (j - A[i - 1] >= 0 && dp[i - 1][j - A[i - 1]]) {
+                dp[i][j] = true;
             }
         }
     }
-    for i:=m;i>=0;i--{
-        if f[len(A)][i] {
-            return i
+    for (int i = m; i >= 0; ++i) {
+        if (dp[A.size()][i]) {
+            return i;
         }
     }
-    return 0
+    return 0;
 }
-
 ```
 
 ### [backpack-ii](https://www.lintcode.com/problem/backpack-ii/description)
@@ -659,31 +582,22 @@ func backPack (m int, A []int) int {
 
 思路：f[i][j] 前 i 个物品，装入 j 背包 最大价值
 
-```go
-func backPackII (m int, A []int, V []int) int {
+```c++
+int backPackII(int m, vector<int> &A, vector<int> &V) {
     // write your code here
-    // f[i][j] 前i个物品，装入j背包 最大价值
-    // f[i][j] =max(f[i-1][j] ,f[i-1][j-A[i]]+V[i]) 是否加入A[i]物品
-    // f[0][0]=0 f[0][...]=0 f[...][0]=0
-    f:=make([][]int,len(A)+1)
-    for i:=0;i<len(A)+1;i++{
-        f[i]=make([]int,m+1)
-    }
-    for i:=1;i<=len(A);i++{
-        for j:=0;j<=m;j++{
-            f[i][j]=f[i-1][j]
-            if j-A[i-1] >= 0{
-                f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-A[i-1]]+V[i-1])
+    // dp[i][j] 前i个物品，装入j背包 最大价值
+    vector<vector<int>> dp(A.size() + 1, vector<int>(V.size() + 1));
+    for (int i = 1; i <= A.size(); ++i) {
+        for (int j = 0; j <= m; ++j) {
+            // 不选第i个物品，则dp[i][j] = dp[i - 1][j]
+            // 选了第i个物品，则dp[i][j] = dp[i - 1][j - A[i - 1]]，倒扣i的大小
+            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
+            if (j - A[i - 1] >= 0) {
+                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - A[i - 1]] + V[i - 1]);
             }
         }
     }
-    return f[len(A)][m]
-}
-func max(a,b int)int{
-    if a>b{
-        return a
-    }
-    return b
+    return dp.back().back();
 }
 ```