BxDF 详解

BxDF 基本概念

什么是 BxDF？

BxDF（Bidirectional Reflectance Distribution Function，双向反射分布函数）描述了光线如何在表面上反射的物理规律。

物理意义：给定入射方向 wo 和出射方向 wi，BxDF告诉我们：

有多少光线从 wo 方向反射到 wi 方向
反射光线的颜色和强度

BxDF 的三个核心函数

class BxDF {
    // 1. PDF：概率密度函数
    virtual float pdf(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const = 0;
    
    // 2. eval：BRDF值（反射率）
    virtual vec3 eval(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const = 0;
    
    // 3. sampleDir：采样反射方向
    virtual vec3 sampleDir(const vec3& wo, const vec3& n) const = 0;
};

渲染方程

$$ L_o(p, \omega_o) = L_e(p, \omega_o) + \int_{\Omega} f_r(p, \omega_i, \omega_o) L_i(p, \omega_i) (\omega_i \cdot n) , d\omega_i $$

蒙特卡洛近似：

$$ L_o(p, \omega_o) \approx L_e(p, \omega_o) + \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \frac{f_r(p, \omega_i, \omega_o) L_i(p, \omega_i) (\omega_i \cdot n)}{p(\omega_i)} $$

其中：

$L_o$：出射辐射亮度
$L_e$：自发光辐射亮度
$f_r$：BRDF（双向反射分布函数）
$L_i$：入射辐射亮度
$p(\omega_i)$：采样方向的概率密度函数（PDF）

LambertianDiffuseBRDF（漫反射）

物理原理

漫反射遵循兰伯特余弦定律：反射光强度与入射角的余弦成正比。

$$ \text{反射光强} \propto \cos(\theta) = \mathbf{n} \cdot \omega_i $$

1. PDF 计算

float pdf(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const {
    if (dot(n, wi) < 0.f) return 0.f;  // 背面，无效
    return 1.0f / M_PI;  // 投影面积空间的均匀分布
}

为什么是 1/π？

半球在平面上的投影面积是 π
在投影面积空间中均匀采样
与BRDF的归一化一致

能量守恒验证：

$$ \int_{\Omega} \frac{1}{\pi} (\mathbf{n} \cdot \omega_i) , d\omega_i = 1 $$

2. BRDF 评估

vec3 eval(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const {
    return radiance / M_PI;
}

兰伯特BRDF公式：

$$ f_r(\omega_i, \omega_o) = \frac{\rho}{\pi} $$

其中：

$\rho$ 是反照率（albedo），即材质颜色
$\pi$ 是归一化因子

能量守恒验证：

$$ \int_{\Omega} \frac{\rho}{\pi} (\mathbf{n} \cdot \omega_i) , d\omega_i = \rho $$

计算积分：

$$ \int_{\Omega} (\mathbf{n} \cdot \omega_i) , d\omega_i = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \cos(\theta) \sin(\theta) , d\theta d\phi = \pi $$

所以：

$$ \frac{\rho}{\pi} \times \pi = \rho \quad \checkmark \text{ 能量守恒} $$

3. 方向采样

vec3 sampleDir(const vec3& wo, const vec3& n) const {
    // 在单位圆盘上均匀采样
    vec2 offset = 2.f * vec2(genRandomFloat(), genRandomFloat()) - vec2(1, 1);
    
    // 将正方形映射到圆盘（平方根映射）
    vec2 disk;
    if (abs(offset.x) > abs(offset.y)) {
        float r = offset.x;
        float theta = M_PI / 4.f * (offset.y / offset.x);
        disk = r * vec2(cos(theta), sin(theta));
    } else {
        float r = offset.y;
        float theta = M_PI / 2.f - M_PI / 4.f * (offset.x / offset.y);
        disk = r * vec2(cos(theta), sin(theta));
    }
    
    // 投影到半球
    float z = sqrt(1 - disk.x * disk.x - disk.y * disk.y);
    vec3 localDir = vec3(disk.x, disk.y, z);
    
    // 转换到世界坐标系
    return toWorld(localDir, n);
}

采样步骤：

在单位圆盘上均匀采样：使用平方根映射避免中心聚集
投影到半球：$z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$
转换到世界坐标：使用切线空间变换

为什么这样采样？

确保在半球上均匀分布
PDF = 1/π
避免拒绝采样，效率高

漫反射特点

| 特性 | 值 |

|------|-----| | PDF | 1/π | | BRDF | radiance / π | | 采样 | 圆盘投影到半球 | | 能量守恒 | 完全抵消 | | 应用场景 | 纸张、墙壁、布料等粗糙表面 |

PhongSpecularBRDF（高光反射）

物理原理

Phong模型是一种经验模型，用于模拟光滑表面的镜面反射。它基于半程向量（halfway vector）来计算高光强度。

核心思想：

当观察方向与完美反射方向接近时，高光强度最大
使用指数参数控制高光的集中程度

半程向量

半程向量是入射方向和出射方向的角平分线：

$$ \mathbf{h} = \frac{\omega_i - \omega_o}{|\omega_i - \omega_o|} $$

几何意义：

当 $\omega_i$ 是完美反射方向时，$\mathbf{h}$ 与法向量 $\mathbf{n}$ 重合
$\mathbf{n} \cdot \mathbf{h}$ 越接近1，高光越强

1. PDF 计算

float pdf(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const {
    if (dot(n, wi) < 0.f) return 0.f;  // 背面，无效
    const vec3 h = normalize(wi - wo);  // 半程向量
    const float nh = dot(n, h);
    return (alpha + 1.0f) * pow(nh, alpha) / (2.0f * M_PI);
}

Phong分布公式：

$$ p(\mathbf{h}) = \frac{\alpha + 1}{2\pi} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^\alpha $$

参数说明：

$\alpha$：高光指数（shininess）
- $\alpha = 1$：宽大、柔和的高光
- $\alpha = 100$：尖锐、明亮的高光
$(\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^\alpha$：高光强度随角度衰减
$\frac{\alpha + 1}{2\pi}$：归一化因子

能量守恒验证：

$$ \int_{\Omega} \frac{\alpha + 1}{2\pi} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^\alpha , d\omega_h = 1 $$

2. BRDF 评估

vec3 eval(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const {
    const vec3 h = normalize(wi - wo);
    const float nh = dot(h, n);
    const float spec = pow(nh, alpha);
    const float normFactor = (alpha + 2.0f) / (2.0f * M_PI);
    return radiance * spec * normFactor;
}

Phong BRDF公式：

$$ f_r(\omega_i, \omega_o) = k_s \frac{\alpha + 2}{2\pi} (\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^\alpha $$

参数说明：

$k_s$：镜面反射系数（材质颜色）
$(\mathbf{n} \cdot \mathbf{h})^\alpha$：高光强度
$\frac{\alpha + 2}{2\pi}$：归一化因子

为什么归一化因子是 $\frac{\alpha + 2}{2\pi}$？

PDF归一化：$\frac{\alpha + 1}{2\pi}$（半程向量空间） BRDF归一化：$\frac{\alpha + 2}{2\pi}$（入射方向空间）

两个空间的雅可比行列式不同，所以归一化因子也不同。

3. 方向采样

vec3 sampleDir(const vec3& wo, const vec3& n) const {
    const float u = genRandomFloat();
    const float v = genRandomFloat();
    
    // 计算球坐标
    const float phi = 2.0f * M_PI * u;
    const float cosTheta = pow(v, 1.0f / (alpha + 1.0f));
    const float sinTheta = sqrt(1.0f - cosTheta * cosTheta);
    
    // 转换为笛卡尔坐标
    auto h = vec3(sinTheta * cos(phi), sinTheta * sin(phi), cosTheta);
    h = toWorld(h, n);
    
    // 根据反射定律计算出射方向
    const vec3 wi = wo - 2.0f * dot(wo, h) * h;
    return normalize(wi);
}

采样步骤：

在半程向量空间中采样：
- $\phi = 2\pi u$（方位角，均匀分布）
- $\cos\theta = v^{1/(\alpha+1)}$（极角，Phong分布）
转换到世界坐标系：
```
h = toWorld(h, n);
```
根据反射定律计算出射方向：
```
wi = wo - 2(wo·h)h
```

为什么 $\cos\theta = v^{1/(\alpha+1)}$？

这是逆变换采样的结果。

Phong分布的累积分布函数（CDF）：

$$ \text{CDF}(\theta) = 1 - \cos^{\alpha+1}(\theta) $$

逆变换：

$$ v = \text{CDF}(\theta) = 1 - \cos^{\alpha+1}(\theta) $$

$$ \cos^{\alpha+1}(\theta) = 1 - v $$

$$ \cos(\theta) = (1 - v)^{1/(\alpha+1)} $$

由于 $v$ 和 $1-v$ 都是均匀分布，可以简化为：

$$ \cos(\theta) = v^{1/(\alpha+1)} $$

Phong 高光参数的影响

alpha 值	高光特性	应用场景
1-10	宽大、柔和的高光	塑料、橡胶
10-50	中等高光	油漆、皮革
50-200	尖锐、明亮的高光	金属、玻璃

MirrorSpecularBRDF（镜面反射）

物理原理

镜面反射是理想化的镜面反射，光线只在一个方向上反射，即完美反射方向。

核心特点：

只有一个反射方向（完美反射定律）
反射角等于入射角
包含Fresnel效应（角度相关的反射率）

1. PDF 计算

float pdf(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const {
    if (dot(wi, n) < 0.f) return 0.f;  // 背面，无效
    return 1.0f;  // Delta分布
}

Delta分布：

镜面反射的PDF是Delta分布（狄拉克δ函数），因为只有一个反射方向。

$$ p(\omega) = \delta(\omega - \omega_r) $$

其中 $\omega_r$ 是完美反射方向。

为什么是1.0？

Delta分布在完美反射方向上可以是任何值
选择1.0是为了简化计算
避免复杂的Delta函数处理

蒙特卡洛积分中的处理：

$$ \int_{\Omega} f(\omega) \delta(\omega - \omega_r) , d\omega = f(\omega_r) $$

在代码中：

// 采样方向就是完美反射方向
vec3 wi = sampleDir(wo, n);

// PDF = 1.0
float pdf = 1.0;

// 蒙特卡洛估计
vec3 contribution = eval * Li * cosTheta / pdf;
                  = eval * Li * cosTheta / 1.0
                  = eval * Li * cosTheta

2. BRDF 评估

vec3 eval(const vec3& wo, const vec3& wi, const vec3& n) const {
    const float cosTheta = dot(wi, n);
    const vec3 fresnelSchlick = radiance + (vec3(1.0f) - radiance) * pow(1.0f - cosTheta, 5.0f);
    return fresnelSchlick / cosTheta;
}

镜面反射BRDF公式：

$$ f_r(\omega_i, \omega_o) = \frac{F(\omega_o)}{\cos(\theta_o)} $$

其中：

$F(\omega_o)$ 是Fresnel反射率
$\cos(\theta_o) = \mathbf{n} \cdot \omega_o$ 是出射角的余弦

Fresnel-Schlick 近似

vec3 fresnelSchlick = radiance + (vec3(1.0f) - radiance) * pow(1.0f - cosTheta, 5.0f);

数学表达式：

$$ F(\theta) = F_0 + (1 - F_0) (1 - \cos\theta)^5 $$

参数说明：

$F_0 = \text{radiance}$：垂直入射时的反射率（材质颜色）
$\cos\theta = \mathbf{n} \cdot \omega_o$：出射角的余弦
$5$：Schlick近似的指数

为什么是5次方？

这是Schlick提出的经验公式
近似Fresnel方程的精确解
计算效率高，效果好

Fresnel 效应

Fresnel效应描述了反射率随角度变化的现象：

入射角	反射率	现象
0°（垂直）	$F_0$	材质固有反射率
30°	$F_0 + 0.5(1-F_0)$	反射率增加
60°	$F_0 + 0.94(1-F_0)$	反射率显著增加
90°（掠射）	1.0	几乎完全反射

实际例子：

水面：垂直看下去透明，掠射看像镜子
玻璃：垂直看透明，掠射看反射
金属：所有角度都有较强反射

3. 方向采样

vec3 sampleDir(const vec3& wo, const vec3& n) const {
    return normalize(wo - 2.0f * dot(wo, n) * n);
}

完美反射定律的向量形式：

$$ \omega_i = \omega_o - 2(\omega_o \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}

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