GitBook: [master] 6 pages and 8 assets modified

Author: nainsys

Diff for: .gitbook/assets/31501.png

@@ -0,0 +1,38 @@
+# 4.3.1. 	Interpolation
+
+보간법\(interpolation\)이란 표본데이터가 주어졌을 때 각 점들의 중간 값\(사이값\)을 구하면, 표본 데이터가 아닌 영역에서 데이터가 어떻게 될지 예상하는데 도움이 됩니다. 즉 discrete한 sample들을 바탕으로 우리가 가지고 있지 않는 점의 값을 추정하는 방법입니다.
+
+사인\(sine\) 함수에 가까운 실험 데이터를 생각해 보겠습니다. 다음 예제는 NumPy, Matplotlib, SciPy를 종합적으로 사용합니다.
+
+```python
+ import numpy as np
+ from scipy.interpolate import interp1d
+ from matplotlib import pyplot as plt
+
+ # Cosine 함수를 0부터 10pi까지 20개 만든다.
+ x = np.linspace(0,10*np.pi, 20)
+ y = np.cos(x)
+
+ #interoperate 함수로 보간법을 적용하여 linear(선형보정) quadratic(부드러운 보정) 두가지 방법으로 만든다
+ fl = interp1d(x,y,kind = 'linear')
+ fq = interp1d(x,y,kind = 'quadratic')
+
+ xint = np.linspace(x.min(), x.max(), 1000)
+ yintl = fl(xint)
+ yintq = fq(xint)
+
+ # Plot the data and the interpolation
+ plt.plot(xint, yintl, color = 'green', linewidth=2)
+ plt.plot(xint, yintq, color = 'red', linewidth=2)
+ plt.legend(['Linear','Quadratic'])
+ plt.plot(x,y,'o')    #값의 위치를 점으로 표현
+ plt.ylim(-2,2)
+
+ plt.title('Interoperate')
+ plt.show()
+```
+
+위의 코드를 실행하면 다음과 같은 그래프가 출력 됩니다.
+
+![](../../.gitbook/assets/31501.png)
+

Diff for: .gitbook/assets/31521.png

@@ -0,0 +1,117 @@
+# 4.3.2. 	Optimization
+
+Optimization\(최적화\)는 최소화 또는 평형에 대한 수치 솔루션을 찾는 문제입니다. scipy.optimize 모듈은 함수 최소화 \(스칼라 또는 다차원\), 커브 피팅 및 루트 찾기를위 한 알고리즘을 제공합니다.
+
+이 모듈의 함수들을 이해하려면 많은 수학적인 이론들이 필요합니다. 너무 어려워서 저도 대부분을 이해하지 못합니다. 사용법만 확인해 봅니다.
+
+데이터를 수식\(함수\)로 만드는 과정을 Curve fitting 혹은 Data fitting이라고 합니다.
+
+예제를 풀어보겠습니다. 1월부터 시작되는 매월 알래스카의 기온은 섭씨로 다음과 같습니다.
+
+우리는 알래스카의 최소 및 최대 기온을 매달에 측정하여 매년 변화하는 것을 나타내는 함수를 찾으려고 합니다. 이를 위해 우리는 주기적 함수를 적용할 것입니다.
+
+```text
+max:  17,  19,  21,  28,  33,  38, 37,  37,  31,  23,  19,  18
+min: -62, -59, -56, -46, -32, -18, -9, -13, -25, -46, -52, -58
+```
+
+위의 데이터를 그래프로 표시하는 코드는 다음과 같습니다.
+
+```python
+ import numpy as np
+ import matplotlib.pyplot as plt
+
+ temp_max = np.array([17,  19,  21,  28,  33,  38, 37,  37,  31,  23,  19,  18])
+ temp_min = np.array([-62, -59, -56, -46, -32, -18, -9, -13, -25, -46, -52, -58])
+
+ months = np.arange(12)
+ plt.plot(months, temp_max, 'ro')
+ plt.plot(months, temp_min, 'bo')
+ plt.xlabel('Month')
+ plt.ylabel('Min and max temperature')
+
+ plt.show()
+```
+
+위의 코드를 실행하면 다음과 같은 그래프가 나타납니다. 붉은 점은 최대온도, 파란 점은 최저 온도를 나타내는 것입니다.
+
+![](../../.gitbook/assets/31521.png)
+
+이 데이터에 주기적 함수를 적용해 보겠습니다.
+
+curve\_fit 함수에 제공되는 인수는 다음과 같습니다.
+
+* **f : 모델** **함수** f\(x, …\), 독립 변수를 첫 번째 인수로 사용하고 매개 변수를 별도의 나머지 인수로 사용해야 합니다.
+* **xdata :**  k 예측자를 갖는 함수의 M 길이 시퀀스 또는 \(k, M\) 모양의 배열, 데이터가 측정되는 독립 변수입니다.
+* **ydata :**  M- 길이 시퀀스, 종속 데이터 - 명목상 f \(xdata, ...\)
+* **p0 :**  없거나, 스칼라 또는 N 길이 시퀀스, 선택 사항입니다. 매개 변수에 대한 초기 추측 값. 없다면 초기 값은 모두 1이 됩니다.
+
+여기서 커브 피팅에 대한 모델 함수를 구하는 방법은 상단히 복잡한 수학적 이론이 필요합니다. 여기서 함수의 사용법만 체크하고 넘어 갑니다.
+
+위의 코드에 아래에 다음 코드를 추가해 보겠습니다.
+
+```python
+ from scipy import optimize
+ def yearly_temps(times, avg, ampl, time_offset):
+     return (avg + ampl * np.cos((times + time_offset) * 2 * np.pi / times.max()))
+
+ res_max, cov_max = optimize.curve_fit(yearly_temps, months, temp_max, [20, 10, 0])
+ res_min, cov_min = optimize.curve_fit(yearly_temps, months, temp_min, [-40,20,0])
+```
+
+테스트를 위해 위의 코드 아래에 다음 코드를 추가해 봅니다
+
+```python
+days = np.linspace(0, 12, num=365)
+
+plt.figure()
+plt.plot(months, temp_max, 'ro')
+plt.plot(days, yearly_temps(days, *res_max), 'r-')
+plt.plot(months, temp_min, 'bo')
+plt.plot(days, yearly_temps(days, *res_min), 'b-')
+plt.xlabel('Month')
+plt.ylabel('Temperature ($^\circ$C)')
+plt.show()
+```
+
+결과로 출력되는 두 플롯을 비교해 보십시요.
+
+![](../../.gitbook/assets/31522.png)
+
+전체 소스 코드는 다음과 같습니다.
+
+```python
+ import numpy as np
+ import matplotlib.pyplot as plt
+
+ temp_max = np.array([17,  19,  21,  28,  33,  38, 37,  37,  31,  23,  19,  18])
+ temp_min = np.array([-62, -59, -56, -46, -32, -18, -9, -13, -25, -46, -52, -58])
+
+ months = np.arange(12)
+ plt.plot(months, temp_max, 'ro')
+ plt.plot(months, temp_min, 'bo')
+ plt.xlabel('Month')
+ plt.ylabel('Min and max temperature')
+
+
+ from scipy import optimize
+ def yearly_temps(times, avg, ampl, time_offset):
+     return (avg
+             + ampl * np.cos((times + time_offset) * 2 * np.pi / times.max()))
+
+ res_max, cov_max = optimize.curve_fit(yearly_temps, months, temp_max, [20, 10, 0])
+ res_min, cov_min = optimize.curve_fit(yearly_temps, months,  temp_min, [-40, 20, 0])
+
+ days = np.linspace(0, 12, num=365)
+
+ plt.figure()
+ plt.plot(months, temp_max, 'ro')
+ plt.plot(days, yearly_temps(days, *res_max), 'r-')
+ plt.plot(months, temp_min, 'bo')
+ plt.plot(days, yearly_temps(days, *res_min), 'b-')
+ plt.xlabel('Month')
+ plt.ylabel('Temperature ($^\circ$C)')
+
+ plt.show()
+```
+

Diff for: .gitbook/assets/31522.png

@@ -0,0 +1,156 @@
+# 4.3.3. 	Fast Fourier transforms: scipy.fftpack
+
+scipy.fftpack 모듈은 fast Fourier transforms \(FFT\)을 계산하고 이를 처리 할 수 있는 유틸리티를 제공합니다. 주요 기능은 다음과 같습니다.
+
+* scipy.fftpack.fft \(\)를 사용하여 FFT를 계산
+* scipy.fftpack.fftfreq \(\)를 사용하여 샘플링 주파수 생성
+* scipy.fftpack.ifft \(\)는 주파수 공간에서 신호 공간으로 inverse FFT를 계산
+
+다음 예제를 실습해 보겠습니다. 이 예제는 signal의 FFT의 힘을 플롯하고 inverse FFT를 사용하여 signal을 재구성하는 것입니다. 이 예제는 scipy.fftpack.fft\(\), scipy.fftpack.fftfreq\(\) 및 scipy.fftpack.ifft\(\)를 보여줍니다.
+
+```python
+ import numpy as np
+ from scipy import fftpack
+ from matplotlib import pyplot as plt
+
+ #신호를 생성합니다.
+ # Seed the random number generator
+ np.random.seed(1234)
+
+ time_step = 0.02
+ period = 5.
+
+ time_vec = np.arange(0, 20, time_step)
+ sig = (np.sin(2 * np.pi / period * time_vec) + 0.5 * np.random.randn(time_vec.size))
+
+ plt.figure(figsize=(6, 5))
+ plt.plot(time_vec, sig, label='Original signal')
+
+ #FFT의 Power를 계산합니다.
+ # The FFT of the signal
+ sig_fft = fftpack.fft(sig)
+
+ # And the power (sig_fft is of complex dtype)
+ power = np.abs(sig_fft)
+
+ # The corresponding frequencies
+ sample_freq = fftpack.fftfreq(sig.size, d=time_step)
+
+ # Plot the FFT power
+ plt.figure(figsize=(6, 5))
+ plt.plot(sample_freq, power)
+ plt.xlabel('Frequency [Hz]')
+ plt.ylabel('plower')
+
+ # Find the peak frequency: we can focus on only the positive frequencies
+ pos_mask = np.where(sample_freq > 0)
+ freqs = sample_freq[pos_mask]
+ peak_freq = freqs[power[pos_mask].argmax()]
+
+ # Check that it does indeed correspond to the frequency that we generate
+ # the signal with
+ np.allclose(peak_freq, 1./period)
+
+ # An inner plot to show the peak frequency
+ axes = plt.axes([0.55, 0.3, 0.3, 0.5])
+ plt.title('Peak frequency')
+ plt.plot(freqs[:8], power[:8])
+ plt.setp(axes, yticks=[])
+ # scipy.signal.find_peaks_cwt can also be used for more advanced  peak detection
+
+
+ #모든 high frequencies를 제거합니다.
+ high_freq_fft = sig_fft.copy()
+ high_freq_fft[np.abs(sample_freq) > peak_freq] = 0
+ filtered_sig = fftpack.ifft(high_freq_fft)
+
+ plt.figure(figsize=(6, 5))
+ plt.plot(time_vec, sig, label='Original signal')
+ plt.plot(time_vec, filtered_sig, linewidth=3, label='Filtered signal')
+ plt.xlabel('Time [s]')
+ plt.ylabel('Amplitude')
+
+ plt.legend(loc='best')
+
+ plt.show()
+```
+
+위의 코드는 다음과 같은 그래프를 결과로 출력합니다. 먼저 아래 그래프는 signal을 생성한 후 original signal을 표시한 것입니다.
+
+![](../../.gitbook/assets/31531.png)
+
+이 original signal에 fft를 사용하여 power를 표시하면 다음과 같습니다.
+
+![](../../.gitbook/assets/31532.png)
+
+모든 high frequencies를 제거하면 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있습니다.
+
+![](../../.gitbook/assets/31533.png)
+
+다음 예제를 실습해 보자. 포토샵 등에서 많이 사용하는 Gaussian image blur 효과를 사진에 적용하는 것입니다.
+
+먼저 사진 이미지를 화면에 출력하는 코드를 실행 해 보겠습니다자.
+
+```python
+ import numpy as np
+ from scipy import fftpack
+ import matplotlib.pyplot as plt
+
+ # read image
+ img = plt.imread('./IMG_0820.png')
+ plt.figure()
+ plt.imshow(img)
+
+ plt.show()
+```
+
+IMG\_0820.png 는 대전 동학사의 벗꽃 사진입니다. 위의 코드를 실행하면 다음과 같은 이미지가 나타납니다. 굉장히 크고 해상도가 좋은 사진 원본입니다.
+
+![](../../.gitbook/assets/31534.png)
+
+이제 Gaussian convolution kernel 을 준비하고 FFT를 사용하여 적용해 봅니다.
+
+전체 소스코드는 다음과 같습니다.
+
+```python
+ import numpy as np
+ from scipy import fftpack
+ import matplotlib.pyplot as plt
+
+ # read image
+ img = plt.imread('./IMG_0820.png')
+ plt.figure()
+ plt.imshow(img)
+
+ # First a 1-D  Gaussian
+ t = np.linspace(-10, 10, 30)
+ bump = np.exp(-0.1*t**2)
+ bump /= np.trapz(bump) # normalize the integral to 1
+
+ # make a 2-D kernel out of it
+ kernel = bump[:, np.newaxis] * bump[np.newaxis, :]
+
+ # Padded fourier transform, with the same shape as the image
+ # We use :func:`scipy.signal.fftpack.fft2` to have a 2D FFT
+ kernel_ft = fftpack.fft2(kernel, shape=img.shape[:2], axes=(0, 1))
+
+ # convolve
+ img_ft = fftpack.fft2(img, axes=(0, 1))
+ # the 'newaxis' is to match to color direction
+ img2_ft = kernel_ft[:, :, np.newaxis] * img_ft
+ img2 = fftpack.ifft2(img2_ft, axes=(0, 1)).real
+
+ # clip values to range
+ img2 = np.clip(img2, 0, 1)
+
+ # plot output
+ plt.figure()
+ plt.imshow(img2)
+
+ plt.show()
+```
+
+출력되는 두개의 이미지를 비교해 보십시요….
+
+![](../../.gitbook/assets/31535.png)
+

Diff for: .gitbook/assets/31531.png

@@ -95,7 +95,10 @@
     * [4.1.2. 	Indexing, Slicing 그리고 Iterating](4.-numpy-and-scipy/4.1-numpy/4.1.2.-indexing-slicing-iterating.md)
     * [3.13.3. 	Shape Manipulation](4.-numpy-and-scipy/4.1-numpy/3.13.3.-shape-manipulation.md)
   * [4.2 Matplotlib](4.-numpy-and-scipy/4.2-matplotlib.md)
-  * [4.3 SciPy](4.-numpy-and-scipy/4.3-scipy.md)
+  * [4.3 SciPy](4.-numpy-and-scipy/4.3-scipy/README.md)
+    * [4.3.1. 	Interpolation](4.-numpy-and-scipy/4.3-scipy/4.3.1.-interpolation.md)
+    * [4.3.2. 	Optimization](4.-numpy-and-scipy/4.3-scipy/4.3.2.-optimization.md)
+    * [4.3.3. 	Fast Fourier transforms: scipy.fftpack](4.-numpy-and-scipy/4.3-scipy/4.3.3.-fast-fourier-transforms-scipy.fftpack.md)
   * [4.4 Pandas](4.-numpy-and-scipy/4.4-pandas.md)
 * [5. 머신러닝 & 딥러닝](4.-and.md)
 * [6. 간단한 챗봇 만들기](5..md)