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不同路径

难度：中等

https://leetcode-cn.com/problems/unique-paths/

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例

示例 1

输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3

输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4

输入：m = 3, n = 3
输出：6

解法

组合数学

从左上角到右下角的过程，我们需要往右移动 m - 1 步，往下移动 n - 1 步，共移动 m + n - 2步，所以我们只需求出其排列组合即可。

/**
 * 组合数学
 * @desc 时间复杂度 O(m) 空间复杂度 O(1)
 * @param m {number}
 * @param n {number}
 * @return number
 */
export function uniquePaths(m: number, n: number): number {
  let ans = 1;
  for (let x = n, y = 1; y < m; x++, y++) {
    ans = Math.floor((ans * x) / y);
  }

  return ans;
}

动态规划

/**
 * 动态规划
 * @desc 时间复杂度 O(mn) 空间复杂度 O(mn)
 * @param m {number}
 * @param n {number}
 * @return number
 */
export function uniquePaths2(m: number, n: number): number {
  // 初始化
  const dp = new Array(m).fill(0).map(() => new Array(n).fill(0));
  for (let i = 0; i < m; i++) {
    dp[i][0] = 1;
  }
  for (let j = 0; j < n; j++) {
    dp[0][j] = 1;
  }

  for (let i = 1; i < m; i++) {
    for (let j = 1; j < n; j++) {
      dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
    }
  }

  return dp[m - 1][n - 1];
}