0-1背包问题

Author: YuChengKai

Algorithm/algorithm-ch.md

@@ -750,8 +750,81 @@ function fib(n) {
 fib(10)
 ```
 
+##0 - 1背包问题
 
+该问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。每个问题只能放入至多一次。
 
-343
+假设我们有以下物品
+
+| 物品 ID / 重量 | 价值 |
+| :------------: | :--: |
+|       1        |  3   |
+|       2        |  7   |
+|       3        |  12  |
+
+对于一个总容量为 5 的背包来说，我们可以放入重量 2 和 3 的物品来达到背包内的物品总价值最高。
+
+对于这个问题来说，子问题就两个，分别是放物品和不放物品，可以通过以下表格来理解子问题
+
+| 物品 ID / 剩余容量 |  0   |  1   |  2   |  3   |  4   |  5   |
+| :----------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
+|         1          |  0   |  3   |  3   |  3   |  3   |  3   |
+|         2          |  0   |  3   |  7   |  10  |  10  |  10  |
+|         3          |  0   |  3   |  7   |  12  |  15  |  19  |
+
+直接来分析能放三种物品的情况，也就是最后一行
+
+- 当容量少于 3 时，只取上一行对应的数据，因为当前容量不能容纳物品 3
+- 当容量 为 3 时，考虑两种情况，分别为放入物品 3 和不放物品 3
+  - 不放物品 3 的情况下，总价值为 10
+  - 放入物品 3 的情况下，总价值为 12，所以应该放入物品 3
+- 当容量 为 4 时，考虑两种情况，分别为放入物品 3 和不放物品 3
+  - 不放物品 3 的情况下，总价值为 10
+  - 放入物品 3 的情况下，和放入物品 1 的价值相加，得出总价值为 15，所以应该放入物品 3
+- 当容量 为 5 时，考虑两种情况，分别为放入物品 3 和不放物品 3
+  - 不放物品 3 的情况下，总价值为 10
+  - 放入物品 3 的情况下，和放入物品 2 的价值相加，得出总价值为 19，所以应该放入物品 3
+
+以下代码对照上表更容易理解
+
+```js
+/**
+ * @param {*} w 物品重量
+ * @param {*} v 物品价值
+ * @param {*} C 总容量
+ * @returns
+ */
+function knapsack(w, v, C) {
+  let length = w.length
+  if (length === 0) return 0
+
+  // 对照表格，生成的二维数组，第一维代表物品，第二维代表背包剩余容量
+  // 第二维中的元素代表背包物品总价值
+  let array = new Array(length).fill(new Array(C + 1).fill(null))
+
+  // 完成底部子问题的解
+  for (let i = 0; i <= C; i++) {
+    // 对照表格第一行， array[0] 代表物品 1
+    // i 代表剩余总容量
+    // 当剩余总容量大于物品 1 的重量时，记录下背包物品总价值，否则价值为 0
+    array[0][i] = i >= w[0] ? v[0] : 0
+  }
+
+  // 自底向上开始解决子问题，从物品 2 开始
+  for (let i = 1; i < length; i++) {
+    for (let j = 0; j <= C; j++) {
+      // 这里求解子问题，分别为不放当前物品和放当前物品
+      // 先求不放当前物品的背包总价值，这里的值也就是对应表格中上一行对应的值
+      array[i][j] = array[i - 1][j]
+      // 判断当前剩余容量是否可以放入当前物品
+      if (j >= w[i]) {
+        // 可以放入的话，就比大小
+        // 放入当前物品和不放入当前物品，哪个背包总价值大
+        array[i][j] = Math.max(array[i][j], v[i] + array[i - 1][j - w[i]])
+      }
+    }
+  }
+  return array[length - 1][C]
+}
+```
 
-0-1背包