求正整数2和n之间的完全数

Author: jamiesun

_posts/2024-07-03-info-olympiad-function-questions-analysis.md

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+layout: post
+title:  "信息奥赛一本通函数题库解析-1: 求正整数2和n之间的完全数"
+date:   2024-07-03 00:22:51 +0800
+categories: algorithms olympiad functions
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+原题链接: [求正整数2和n之间的完全数](http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1150)
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+根据题目描述和样例输入输出的要求，我们需要编写一个程序，找到 2 和 n 之间的完全数，并按升序输出。一个完全数是指它的所有真因子（不包括自身）之和等于它本身。
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+以下是针对这道题的详细解题思路：
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+1. **理解完全数的定义**：完全数是一个正整数，它等于其所有真因子（包括 1，但不包括自身）的和。例如，6 是一个完全数，因为 6 = 1 + 2 + 3。
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+2. **输入输出**：输入一个整数 n (n <= 5000)，输出 2 到 n 之间的所有完全数，每行一个数，按从小到大的顺序排列。
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+3. **解决方案**：
+    - 首先，我们需要一个函数来判断一个数是否为完全数。
+    - 然后，我们遍历从 2 到 n 的所有整数，使用该函数判断是否为完全数。
+    - 如果是完全数，将其存储在一个列表中。
+    - 最后，按顺序输出列表中的所有完全数。
+
+以下是实现该方案的代码：
+
+```cpp
+#include <iostream>
+using namespace std;
+
+// 函数：判断一个数是否为完全数
+bool is_perfect(int num) {
+    if (num == 1) {
+        return false; // 1 不是完全数
+    }
+    int sum = 1; // 1 是所有数的因子
+    for (int i = 2; i * i <= num; ++i) {
+        if (num % i == 0) {
+            sum += i;
+            if (i * i != num) { // 避免重复添加平方根
+                sum += num / i;
+            }
+        }
+    }
+    return sum == num; // 如果因子和等于自身，则是完全数
+}
+
+int main() {
+    int n;
+    cin >> n; // 读入 n
+
+    int perfect_numbers[5]; // 假设最多有 5 个完全数
+    int count = 0; // 完全数的计数
+
+    for (int i = 2; i <= n && count < 5; ++i) {
+        if (is_perfect(i)) {
+            perfect_numbers[count++] = i; // 如果 i 是完全数，加入数组
+        }
+    }
+
+    for (int i = 0; i < count; ++i) {
+        cout << perfect_numbers[i] << endl; // 输出所有的完全数
+    }
+
+    return 0;
+}
+```
+
+### 知识点总结：
+
+1. **因数分解**：为了求一个数的所有真因子，我们需要遍历从 1 到这个数平方根之间的所有整数。如果某个整数是这个数的因子，那么它的对应因子也可以求出。例如，12 的因子包括 1, 2, 3, 4, 6 和 12，我们只需遍历到 sqrt(12) 即可。
+
+2. **数据存储和排序**：使用数组或列表来存储找到的完全数，并按顺序输出。
+
+3. **复杂度分析**：由于我们需要遍历从 2 到 n 的所有数，并对每个数进行因数分解，时间复杂度为 O(n * sqrt(n))，对于 n <= 5000 是可以接受的。
+
+这段代码可以有效解决这个问题，找出所有满足条件的完全数并输出。
+
+### 为什么 只需遍历到 sqrt(12) 即可
+
+只需遍历到 \(\sqrt{n}\) 是因为在查找一个数 \(n\) 的因子时，如果 \(i\) 是 \(n\) 的一个因子，那么 \(\frac{n}{i}\) 也是 \(n\) 的一个因子。具体来说，如果我们找到一个因子 \(i\)，那么我们可以直接确定另一个因子 \(\frac{n}{i}\)。
+
+例如，对于 \(n = 12\)：
+- 因子对包括 (1, 12), (2, 6), 和 (3, 4)。
+- 如果我们从 1 遍历到 \(\sqrt{12} \approx 3.46\)，那么当我们找到因子 2 时，我们也可以确定 6 是因子（因为 \(12 / 2 = 6\)）。
+- 同样，当我们找到因子 3 时，我们也可以确定 4 是因子（因为 \(12 / 3 = 4\)）。
+
+这就意味着，我们只需遍历到 \(\sqrt{n}\) 就可以找到所有的因子对，因为对于每一个 \(i \leq \sqrt{n}\)，对应的 \(\frac{n}{i}\) 都会被找到。
+
+这个方法大大减少了需要检查的数的数量，降低了时间复杂度。遍历到 \(\sqrt{n}\) 的时间复杂度是 \(O(\sqrt{n})\)，而不是遍历到 \(n\) 的 \(O(n)\)，这对于较大的 \(n\) 来说是非常有效的。
+
+让我们再来看一遍代码中的这部分：
+
+```cpp
+for (int i = 2; i * i <= num; ++i) {
+    if (num % i == 0) {
+        sum += i;
+        if (i * i != num) { // 避免重复添加平方根
+            sum += num / i;
+        }
+    }
+}
+```
+
+这里的 `i * i <= num` 就是为了遍历到 \(\sqrt{num}\)。如果 `i` 是 `num` 的因子，我们将 `i` 和 `num / i` 都加到因子和 `sum` 中。
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+避免重复添加平方根的目的是处理完全平方数的情况。例如，16 的因子包括 1, 2, 4, 8 和 16，但我们不希望将 4 添加两次。
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+通过这种方法，我们能够高效地找到所有因子并判断一个数是否为完全数。