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docs/5. 算法/12.2024-12-09-中心性.md

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+title: "中心性算法: 度中心性 | 接近中心性 | 中介中心性"
+tags:
+  - 分布式
+  - 大数据
+createTime: 2024/12/09 11:00:48
+permalink: /article/dsg3yb5o/
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+中心性算法用于理解图中特定节点的左右及其对网络的影响, 可以帮助我们识别最重要的节点.
+<!-- more -->
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+本文将介绍以下算法:
+- [度中心性算法](/article/dsg3yb5o/#度中心性-degree-centrality): 可作为连通度的基准指标.
+- [紧密中心性算法](/article/dsg3yb5o/#紧密中心性-closeness-centrality): 用于度量节点在群组中的中心程度.
+- [中间中心性算法](/article/dsg3yb5o/#中介中心性-betweenness-centrality): 用于寻找图中的控制点.
+
+## 度中心性 Degree Centrality
+用于度量节点拥有的关系数量, 数值越大表示其中心性越高.
+- 输入: `G = (V, E)`.
+- 输出: 每个节点及其度中心性值.
+
+### 实现原理
+$$
+C'_D(N_i) = \frac{N_{degree}}{n - 1}
+$$
+
+其中:
+- $N_{degree}$ 表示节点的度.
+- $n$ 表示节点数量.
+
+::: tip 该公式已标准化.
+:::
+
+### 对于异质图的适配
+- 该指标计算不涉及属性, 只关注图结构的度.
+- 只计算同 label 下的度.
+
+
+## 紧密中心性 Closeness Centrality
+用于发现可通过子图高效传播信息的节点, 数值越高表示其与其他各个节点的举例最短. 当需要知道哪个节点的传播速度最快的时候可以使用该算法.
+- 输入: `G = (V, E)`.
+- 输出: 每个节点及其紧密中心性.
+
+### 实现原理
+衡量节点中心性的指标是其到其他各个节点的平均距离. 紧密中心性算法在计算所有节点对之间的最短路径的基础上, 还要计算它到其他各个节点的距离之和, 然后对结果求倒数.
+$$
+C(u) = \frac{1}{\sum_{v=1}^{n-1}d(u,v)}
+$$
+
+其中:
+- $u$ 表示节点.
+- $n$ 表示图中节点数量.
+- $d(u,v)$ 表示另一个节点 $v$ 和 节点 $u$ 之间的最短距离.
+
+更常见的作法是将计算结果进行归一化, 以此表示最短路径的平均长度, 而不是最短路径之和. 归一化公式如下:
+$$
+C_{norm}(u) = \frac{n-1}{\sum_{v=1}^{n-1}d(u,v)}
+$$
+
+### 对于异质图的适配
+- 只计算同 label 之间的节点.
+- 实际上只计算每个连通子图中的紧密中心性.
+
+    ::: card title="Wasserman & Faust 算法"
+    该算法是针对于非连通图的变式.
+    $$
+    C_{WF}(u) = \frac{n-1}{N-1}\left(\frac{n-1}{\sum_{v=1}^{n-1}d(u,v)} \right)
+    $$
+    其中:
+    - $u$ 表示节点.
+    - $N$ 表示总的节点数量.
+    - $n$ 表示与 $u$ 在同一个分量中的节点的数量.
+    - $d(u, v)$ 表示另一个节点 $v$ 到 $u$ 的最短距离.
+    :::
+
+
+## 中介中心性 Betweenness Centrality
+用于检测节点对图中信息流或资源的影响程度, 通常用于查找将图的一部分与另一部分桥接的节点.
+- 输入: `G = (V, E)`.
+- 输出: 每个节点及其中介中心值.
+
+### 实现原理
+$$
+B(u) = \sum_{s \neq u \neq t} \frac{p(u)}{p}
+$$
+
+其中:
+- $u$ 表示节点.
+- $p$ 表示节点 $s$ 和 $t$ 之间最短路径的总和.
+- $p(u)$ 表示 $s$ 和 $t$ 之间通过节点 $u$ 的最短路径的数量.
+
+下图中展示了计算中介中间性得分的步骤.
+
+![中介中心性计算示例](/illustration/betweenness-centrality-example.png =400x)
+
+针对节点 D 的计算过程如下:
+| 通过 D 的最短路径节点对 | 节点对之间的最短路径总数 $p$  | 占通过 D 最短路径数量的百分比 $\frac{p(u)}{p}$ |
+| ----------------------- | ----------------------------- | ---------------------------------------------- |
+| (A, E)                  | 1                             | 1                                              |
+| (B, E)                  | 1                             | 1                                              |
+| (C, E)                  | 1                             | 1                                              |
+| (B, C)                  | 2 (分别是 B->A->C 和 B->D->C) | 0.5                                            |
+
+所以根据公式, 节点 D 的中介性得分是: `1 + 1 + 1 + 0.3 = 3.5`.
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+### 对于异质图的适配
+- 该指标计算不涉及属性, 只关注图结构的度.
+- 只计算同 label 下的度.
+
+<br /><br /><br />
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+::: info 本文参考资料
+1. [《数据分析之图算法：基于Spark和Neo4j》](https://book.douban.com/subject/35217091/)
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