Categories for the Working Mathematician 2nd
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- Tag: 对象，箭头，函子，自然变换，函子范畴，Monad，幺半群
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『A monad is just a monoid in the category of endofunctors,
what's the problem?』
我是奔着这句话来的。
有人说，把Monad看做自函子范畴上的幺半群来源于此书，
于是，我就决定看看。
范畴论经常听各路大神提起，
也略读过几本小书，从未认真看过，
这次还是看得稍微认真了一些。
幸好，我之前有了一些，
拓扑学，群论，微分流形，集合论的预备知识，
里面举的例子，多少可以明白在说什么。
我的目的是搞懂Monad，于是其余几章能过的就翻了一遍，
我是问题导向的人，不想淹没在数学的海洋中。
我先用了大概2天时间略读了一遍整本书，
发现了我感兴趣的一句话，来自P138，
『All told, a monad in X is just a monoid in the category of endofunctors of X,
with the product × replaced by composition of endofunctors
and unit set by the identity endofunctor.』
为了看懂这句话，我再反过来回想各种概念，
整理成自己的知识体系。
幺半群总要知道吧，
函子，自函子总要知道吧，
什么是范畴，更不用说了。
然后，开始认真的刷这些不太明了的概念，
努力去理解数学家们的想法。
我同意某人说过的一个观点，
数学并不是天生严谨的科学，他只是用数学家们的语言，
表达了他们脑海中的想法，只是尽量严谨罢了。
这些概念刷过以后，定义算是理清了，
但是发现对幺半群的认识，只停留在群论基础上，
至于数学家们为什么这样对待Monad还是不太理解。
没关系，再刷一遍，
这一遍的目的是，看清每个概念的来由，
抓住中心思想，不是从小学一直锻炼的吗？
这才发现，作者把幺半群从集合论中一般化成了范畴论中的概念，
统一了各种『不兼容性』，
从更高的角度看待了幺半群这种代数结构。
看完这里后，我还习惯的想想后面要看什么，
其中几个概念是我不太清楚的，
书中提到了很多代数拓扑，同调代数，同伦论的概念，
我没有学过，以后慢慢看吧。
这里其实，我有意提及了看数学书的方法，
数学书有一个特点，要想读懂第一章，需要先看过第二章。
有些概念的理解，需要先对后面的概念有个大致了解才行。
也不要指望一遍能看懂，通常要来回翻阅，看个十几遍。
说起本书的内容来，
是一本好书。
首先观点比较新颖，用图可交换（commutative diagram）来表达对象和箭头之间的关系，
也可以看出函子与自然变换之间的关系，
清晰易懂。
行文比较大气，各种代数结构如数家珍，
例子比较多。
对我来说，不太好的是，并没有提到Hask范畴，
也没有拿着Haskell语言来举例，
我还要自己查相关的资料。
其实也正常，这是面向数学工作者的书嘛。
最后说一句，要看数学概念的话，
最好直接看数学书或者文献，不要看科普，
第一手的资料，是最清晰的。